تاریخچه عدد صفر
یکی از معمول ترین سئوالهائی که مطرح می شود این است که: چه کسی صفر را کشف کرد؟ البته برای جواب دادن به این سئوال بدنبال این نیستیم که بگوئیم شخص خاصی صفر را ابداع و دیگران از آن زمان به بعد از آن استفاده می کردند. اولین نکته شایان ذکر در مورد عدد صفر این است که این عدد دو کاربرد دارد که هر دو بسیار مهم تلقی می شود یکی از کاربردهای عدد صفر این است که به عنوان نشانه ای برای جای خالی در دستگاه اعداد (جدول ارزش مکانی اعداد) بکار می رود. بنابراین در عددی مانند 2106 عدد صفر استفاده شده تا جایگاه اعداد در جدول مشخص شود که بطور قطع این عدد با عدد 216 کاملاً متفاوت است. دومین کاربرد صفر این است که خودش به عنوان عدد بکار می رود که ما به شکل عدد صفر از آن استفاده می کنیم. هیچکدام از این کاربردها تاریخچه پیدایش واضحی ندارند. در دوره اولیه تاریخ کاربرد اعداد بیشتر بطور واقعی بوده تا عصر حاضر که اعداد مفهوم انتزاعی دارند. بطور مثال مردم دوران باستان اعداد را برای شمارش تعداد اسبان، ... بکار می برند و در اینگونه مسائل هیچگاه به مسئله ای برخورد نمی کردند که جواب آن صفر یا اعداد منفی باشد. بابلیها تا مدتها در جدول ارزش مکانی هیچ نمادی را برای جای خالی در جدول بکار نمی بردند. می توان گفت از اولین نمادی که آنها برای نشان دادن جای خالی استفاده کردن گیومه (") بود. مثلاً عدد6"21 نمایش دهنده 2106 بود. البته باید در نظر داشت که از علائم دیگری نیز برای نشان دادن جای خالی استفاده می شد ولیکن هیچگاه این علائم به عنوان آخرین رقم آورده نمی شدندبلکه همیشه بین دو عدد قرار می گیرند بطور مثال عدد "216 را با این نحوه علامت گذاری نداریم. به این ترتیب به این مطلب پی می بریم که کاربرد اولیه عدد صفر برای نشان دادن جای خالی اصلاً به عنوان یک عدد نبوده است. البته یونانیان هم خود را از اولین کسانی می دانند کهدرجای خالی ,صفر استفاده می کردند اما یونانیان دستگاه اعداد (جدول ارزش مکانی اعداد) مثل بابلیان نداشتند. اساساً دستاوردهای یونانیان در زمینه ریاضی بر مبنای هندسه بوده و به عبارت دیگر نیازی نبوده است که ریاضی دانان یونانی از اعداد نام ببرند زیر آنها اعداد را بعنوان طول خط مورد استفاده قرار می دادند. البتهبعضى ازریاضی دانان یونانی ثبت اطلاعات نجومی را بر عهده داشتند. در این قسمت به اولین کاربرد علامتی اشاره می کنیم که امروزه آن را به این دلیل که ستاره شناسان یونانی برای اولین بار علامت 0 را برای آن اتخاذ کردند، عدد صفر می نامیم. تعداد معدودی از ستاره شناسان این علامت را بکار بردند و قبل از اینکه سرانجام عدد صفر جای خود را بدست آورد، دیگر مورد استفاده قرار نگرفت و سپس در ریاضیات هند ظاهر شد. هندیان کسانی بودند که پیشرفت چشمگیری در اعداد و جدول ارزش مکانی اعداد ایجاد کردند هندیان نیز از صفر برای نشان دادن جای خالی در جدول استفاده می کردند. اکنون اولین حضور صفر را به عنوان یک عدد مورد بررسی قرار می دهیم اولین نکته ای که می توان به آن اشاره کرد این است که صفر به هیچ وجه نشان دهنده یک عدد بطور معمول نمی باشد. از زمانهای پیش اعداد به مجموعه ای از اشیاء نسبت داده می شدند و در حقیقت با گذشت زمان مفهوم صفر و اعداد منفی که از ویژگیهای مجموعه اشیاء نتیجه نمی شدند، ممکن شد. هنگامیکه فردی تلاش می کند تا صفر و اعداد منفی را بعنوان عدد در نظر بگیرید با این مشکل مواجه می شود که این عدد چگونه در عملیات محاسباتی جمع، تفریق، ضرب و تقسیم عمل می کند. ریاضی دانان هندی سعی بر آن داشتند تا به این سئوالها پاسخ دهندو در این زمینه نیز تا حدودى موفق بوده اند . این نکته نیز قابل ذکر است که تمدن مایاها که در آمریکای مرکزی زندگی می کردند نیز از دستگاه اعداد استفاده می کردند و برای نشان دادن جای خالی صفر را بکار می برند. بعدها نظریات ریاضی دانان هندی علاوه بر غرب، به ریاضی دانان اسلامی و عربی نیز انتقال یافت. فیبوناچی، مهمترین رابط بین دستگاه اعداد هندی و عربی و ریاضیات اروپا می باشد
ده دستور العمل پولیا برای معلمان ریاضی
1- به موضوع درس خود ،علاقه مند باشید .
2- بر ماده درسی خود، مسلّط باشید .
3-بدانید، از چه راهی می توانید آنچه را در نظر دارید، یاد بدهید؟ بهترین روش یاد دادن را خودتان پیدا کنید .
4- به چهره شاگردان خود نگاه کنید، تا متوجه انتظارهای آنها بشوید . دشواری های آنها را کشف کنید؛ توانایی این را داشته باشید که بتوانید خودتان را به جای آنان بگذارید .
5- به آگاهی های خشک قناعت نکنید. بکوشید مهارت را که لازمه عقل و اندیشه است و عادت به کار منظم را، در دانش آموزان تقویت کنید و تکامل بخشید.
6- بکوشید تا حدس زدن و پیش بینی کردن را، به آنان بیاموزید.
7- سعی کنید، اثبات کردن را به دانش آموزان یاد بدهید.
8- در مسأله ای که طرح شده است ، چیزی را جستجو کنید که، برای حل مسأله های دیگر مفید است . از موقعیتی که مسأله مشخص مفروض دارد ،روش کلی را کشف کنید .
9- راز خود را ، بلافاصله فاش نکنید . اجازه بدهید دانش آموزان تا آنجا که می توانند تلاش خود را برای حل یا حدس راه حل ، به کار برند ؛ به دانش آموزان امکان بدهید ،هر چه بیشتر خودشان کشف کنند .
10- با اشاره های خود ، دانش آموزان را راهنمایی کنید، ولی عقیده خود را ، به زور به آنها تحمیل نکنید .
کاربرد ریاضی در زندگی2
●
کاربرد توابع و روابط بین اعداد:
کاربرد روابط بین اعداد و توابع و نتیجه
گیریهای منطقی در نوشتن الگوریتمها و برنامه نویسی کامپیوتری است .
مفهوم تابع یکی از مهمترین مفاهیم ریاضی است و در اصل تابع نوعی خاص از رابطه های
بین دو مجموعه است . و با توجه به این که دنباله ها هم حالت خاصی از تابع است –
تابعی که دامنه آن مجموعه ی اعداد { . . . و ۲ و ۱
و ۰ } است
–
دنباله های عددی در ریاضی و کامپیوتر کاربرد فراوان دارند . برای ساخت یک برنامه اساساٌ
چهار مرحله را طی می کنیم :
۱) تعریف
مسئله
۲) طراحی
حل
۳) نوشتن
برنامه
۴) اجرای
برنامه
لازم به ذکر است که گردآیه هایی که در مرحله دوم حاصل می شود را اصطلاحاٌ الگوریتم
می نامیم .که این الگوریتمهابه زبان شبه کد نوشته می شود ،که شبیه زبان برنامه
نویسی است وتبدیل آنها به زبان برنامه نویسی را برای ما بسیار ساده می کند .
« هیچ دانسته ی بشر را نمی توان علم نامید، مگر اینکه از طریق ریاضیّات توضیح داده
شده و ثابت شود . » ( لئو ناردو داوینچی )
کاربرد ریاضی در زندگی
بسیار پیش می آید که
دانش آموزان پس از تدریس یک درس ، از ما می پرسند که این درس که امروز خواندیم ،به
چه درد ما می خورد؟و کجامی توانیم ازآن استفاده کنیم ؟
ریاضیات به عنوان یک درس اصلی است که داشتن درک درست از آن در آینده ی تحصیلی دانش
آموزان و طبعاً پیشرفت علمی کشور نقش مهمی دارد . همچنین شامل کلیه ارتباطات ریاضی
با زندگی روزمرّه ، سایر علوم و کاربردهایی در زندگی علمی آینده ی دانش آموزاست
.به این ترتیب دربرنامه درسی و آموزشی ، برقرار کردن پیوند ریاضیات با کاربردهایش
در زندگی و سایر علوم از قبیل :هنر،علوم طبیعی ،علوم اجتماعی و . . . . باید مدّ
نظر قرار گیرد . در صورتی که این موارد در آموزش دیده نشود ، این سؤ ال همیشه در
ذهن دانش آموز باقی می ماند که:
« به چه دلیل باید ریاضی خواند ؟ » و« ریاضی به چه درد می خورد ؟ »
چگونه ریاضی را بهتر یاد بگیریم؟
۱- هر وقت ریاضی می خوانید از خوانده‌های خود یاداشت بردارید و برای بار دوم و سوم از روی یاداشت‌های خود مطالعه کنید .
۲- اگر از مطالعه ریاضی خسته شدید ؛ مدتی قدم بزنید و مغز خود را آرام کنید و برای ادامه مطالعه خود را آماده کنید .
۳- درس ریاضی را بین دروس خواندنی مطالعه کنید و هیچ وقت خودتان را با مطالعه محض ریاضی خسته نکنید .
۴- بعد از مطالعه هر بخش سعی کنید مثال‌های کاربردی در آن مبحث برای خود بیابید مثلاً وقتی بخش مساحت را مطالعه می کنید سعی کنید مساحت اطاق خود و قسمتی از دیوار خانه که بشکل مثلث یا ذوزنقه است را محاسبه کنید .
۵- در ریاضی آنچه مهم است تکرار در مطالعه است تا می توانید تکرار کنید.
۶- خسته نشوید و نگویید ما استعداد ریاضی نداریم زیرا ۹۹ ٪ آنچه می‌آموزیم عرق جبین است و فقط ۱ ٪ استعداد است .بی استعدادترین افراد نبوغ وقت خود شده اند .
۷-خودتان را به فکر کردن روی مساله های ریاضی عادت دهید. توجه کنید که بسیاری از مسائل خوب به راحتی حل نمی شوند بنابر این اگر در حل هر مساله ای موفق نشدید، ناامید نشوید. برای حل مسائل تلاش کنید هر چند اگر ساعت‌ها و روزها وقت شما را بگیرد. از وقت‌های اضافی (هنگام پیاده روی – ایستادن در صفهای مختلف اتوبوس، خرید نان و …) برای حل مسائل و فکر کردن روی آنها استفاده کنید. روی مسائل کتابهای درسی خود خوب فکر کنید و برای حل آنها وقت بگذارید اما به آنها اکتفا نکنید. همیشه یک مساله جدید برای حل در ذهنتان داشته و به دنبال مسائل جدید باشید. از هیچ مساله ای نترسید. از مسائل مربوط به المپیادهای سالهای گذشته کشوری و بین المللی اطلاع داشته باشید و اگر فرصت کردید راه حل آنها را نیز پیدا کنید. در کل سعی کنید دایرة المعارف مسائل ریاضی ذهنتان را -یعنی مجموعه مسائلی که دیده اید نه مسائلی که حل کرده اید- دائماً توسعه دهید. اگر چند ماه خودتان را به این کارها عادت دهید، مسائل کتابهای درسی – و نتیجتاً تستهای کنکور- برایتان کاملا پیش پا افتاده خواهد شد. به امید خدا در همین تایپیک به بعضی از کتابهای معتبر مساله نیز اشاره خواهد شد
۸- نسبت به ریاضی دید بهتری پیدا کنید. برای این کار لیستی از کاربردهای ریاضی را در رشته‌های مختلف و امور جاری زندگی بنویسید؛ مثلاً کاربرد ریاضی در ساختمان‌سازی.
۹- مطالبی که هنگام مطالعه می‌خوانید حتی فرمول‌ها و معادلات و نیز سؤالات امتحان را به زبان فارسی برگردانید.
۱۰- برای حل سریع مسائل ریاضی، تمرین کنید و هنگام مطالعه وقت بگیرید که یک مسئله را در چند دقیقه حل می‌کنید. البته عجله داشتن و شتاب‌زدگی را توصیه نمی‌شود؛ زیرا باعث اشتباه می‌شود ولی سرعت عمل در جایی که شما متوجه راه‌حل شده‌اید و آن را بلدید، در جلوگیری از کمبود وقت به شما کمک می‌کند.
۱۱- مسئله را گام به گام حل کنید. این کار باعث فهم خوب مسئله و حدس راه‌حل‌های درست می‌شود.
۱۲- قبل از انجام محاسبات، مسئله را تجزیه و تحلیل کنید و با جزئیات طرح کنید.
۱۳- برآوردی از پاسخ خود داشته باشید تا از طی کردن مسیر اشتباه، جلوگیری شود. مثلاً برآورد کنید که اگر از این راه‌حل استفاده کنید به فلان جواب می‌رسید. در این صورت آیا جواب مسئله درست خواهد بود؟
۱۴- از بازنمایی ذهنی استفاده کنید. این کار باعث از بین رفتن وقفه‌ی ذهنی می‌شود؛ یعنی تصویر مراحلی را که می‌خواهید انجام دهید، در ذهن خود ترسیم کنید و تصاویرِ ذهنیِ مسائلِ مشابه را در ذهن خود بازسازی کنید.
۱۵- جوابی را که می‌دهید مرتب بررسی کنید که آیا مسیر را درست می‌روید یا خیر.
۱۶- هنگام مطالعه، تمرین‌ها را به صورت کتبی انجام دهید. از اینکه مسائل را ذهنی حل کنید، بپرهیزید؛ زیرا موجب اشتباه می‌شود.
۱۷- از اینکه در آخرین لحظه، جواب خود را تغییر دهید بپرهیزید؛ مگر اینکه صددرصد از جواب خود مطمئن باشید.
۱۸- فرمول‌های ریاضی را قبل از امتحان مرور کنید و با شروع امتحان آنها را در حاشیه‌ی برگه بنویسید که هر وقت به آنها نیاز داشتید به راحتی در دسترس باشند. اگر زمانی که مسئله را حل می‌کنید فرمول را بازیابی کنید، احتمال اینکه اشتباهی پیش آید، وجود دارد.
۲۰- مسائل را مشابه مسائلی که قبلاً یاد گرفتید و حل کردید، در نظر بگیرید. همچنین شباهت‌های آن را با مسائل دیگر پیدا کنید. این امر موجب از بین رفتن نگرانی می‌شود.
۲۱- برای آمادگی بیشتر سر جلسه‌ی امتحان، مسائل زیادی حل کنید. از مثال‌ها و تمرین‌های کتاب غافل نشوید.
۲۲- همه‌ی وقت خود را صرف چند مسئله‌ی سخت نکنید. ابتدا مسائل آسان را حل کنید. اگر دیدید مسئله‌ای سخت است از آن عبور کنید و بعد از پاسخ به تمام مسائل به آن برگردید.
۲۳- در صورتی که در حل بعضی مسائل مشکل دارید قبل از امتحان از معلم خود کمک بخواهید تا یک بار دیگر برای شما توضیح دهد.
۲۴- اگر نمی‌دانید از کجا شروع کنید، سؤال را دوباره بخوانید.
۲۵- مواظب اشتباهات پیش‌پاافتاده باشید؛ زیرا هر چه‌قدر مسیر را درست بروید ولی در یک محاسبه‌ی کوچک (جمع و تفریق) اشتباه کنید، جواب شما غلط می‌شود.